DSE 數學攻略：徹底掌握 Completing Square (配方法) 搵 Vertex 滿分技巧

在 DSE 數學科 (Mathematics) 的考試中，二次方程 (Quadratic Equations) 是必考課題，而其中 Completing Square DSE (配方法) 更是考生必須熟練掌握的核心技巧。很多同學在處理圖像性質、尋找頂點 (Vertex) 或最大/最小值 (Max/Min Value) 時，往往因為概念不清或計算繁複而失分。

本文由 超研教育 Aspire Education 的資深數學導師團隊編寫，將深入淺出地拆解 Completing square method，並提供詳細的 Completing square 步驟 與 Completing square 題目 實戰演練，助你輕鬆攻克這類題型。

甚麼是 Completing the Square (配方法)？

Completing the square 中文 稱為「配方法」。簡單來說，它是將一般式的二次方程 y = ax² + bx + c 轉換為頂點式 (Vertex Form) y = a(x-h)² + k 的代數過程。

為什麼這個技巧在 DSE 如此重要？因為轉成頂點式後，我們可以直接看出圖像的幾何特徵，這對於解決 Completing square vertex dse 相關題目至關重要：

1. 頂點 (Vertex) 座標：即 (h, k)。
2. 對稱軸 (Axis of Symmetry)：即 x = h。
3. 最值 (Optimimum Value)：當 a > 0 時，y 的最小值為 k；當 a < 0 時，y 的最大值為 k。

Completing Square 步驟詳解 (Step-by-Step)

掌握正確的運算次序是避免 careless mistakes 的關鍵。以下是標準的 Completing square method 流程：

假設題目為：y = 2x² – 12x + 5

第一步：抽因子 (Factor out coefficient of x²)

將 x² 的係數從前兩項中抽出來，常數項保留在括號外。

y = 2(x² – 6x) + 5

第二步：加減半數平方 (Add and subtract the square of half the coefficient of x)

觀察括號內 x 的係數是 -6。取其一半 (-3) 的平方，即 (-3)² = 9。在括號內「先加後減」這個數，以保持數值不變。

y = 2(x² – 6x + 3² – 3²) + 5

(註：我們寫成 +3² – 3² 是為了下一步配成完全平方式)

第三步：配成完全平方 (Form the perfect square)

將前三項 x² – 6x + 3² 合併為 (x-3)²。剩下的 -3² (即 -9) 暫時留在括號內。

y = 2[(x-3)² – 9] + 5

第四步：拆括號並化簡 (Expand and Simplify)

將外面的係數 2 乘進去，把常數項合併。

y = 2(x-3)² – 18 + 5

y = 2(x-3)² – 13

結果分析：

由此可知，頂點 (Vertex) 為 (3, -13)，且因為 a=2 > 0，圖像開口向上，最小值為 -13。

精選 Completing Square 題目與實戰應用

為了鞏固記憶，同學必須多做 配方法題目。以下我們探討不同難度的題型，這也是 DSE 試卷中常見的陷阱位。

基礎題：求頂點座標

題目： 利用配方法，求 y = -3x² – 12x + 1 的頂點。

解題示範：

y = -3(x² + 4x) + 1

y = -3(x² + 4x + 2² – 2²) + 1

y = -3[(x+2)² – 4] + 1

y = -3(x+2)² + 12 + 1

y = -3(x+2)² + 13

答案： Vertex 是 (-2, 13)。

進階題：涉及分數的運算

當 x 的係數是奇數時，Completing square 題目 的運算會涉及分數，這時最容易出錯。

題目： 將 y = x² + 3x – 2 寫成頂點式。

解題技巧：

一半的係數是

答案： Vertex 是

為什麼 DSE 考生常問這些問題？

在 超研教育 的課堂上，我們發現學生對於配方法常有以下疑問：

除了 Completing Square，可以用公式找 Vertex 嗎？

可以。對於 y = ax² + bx + c，頂點的 x 座標公式為

找到 x 後代入方程即可求得 y 座標。

然而，DSE Section A(1) 或 Section A(2) 的題目有時會明確要求 “using the method of completing the square” (使用配方法)，此時若只用公式即屬違規，可能無法獲得步驟分。因此，熟練 Completing square method 是必須的。

總結：提升數學思維，從配方法開始

掌握 Completing square dse 的技巧，不單是為了應付一條題目，更是為了建立對二次函數圖像的直觀理解。無論是尋找最大利潤的應用題，還是處理幾何坐標，配方法都是不可或缺的工具。

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