掌握角平分線 (Angle Bisector) 特性與角平分線定理，輕鬆破解幾何難題 | 超研教育

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什麼是角平分線 (Angle Bisector)？

基本定義

角平分線，又稱分角線，是一條從角的頂點出發，將一個角精確地分成兩個相等角度的射線。

舉例來說，在下圖的 ∠AOB 中，射線 OC 從頂點 O 出發。如果 ∠AOC = ∠BOC，那麼射線 OC 就是 ∠AOB 的角平分線。

角平分線的關鍵特性

角平分線最重要的一個特性是：角平分線上任何一點，到角兩邊的垂直距離相等。

• 特性解釋：如下圖，OC 是 ∠AOB 的角平分線。如果在 OC 上任意取一點 P，並從 P 點分別向 OA 和 OB 畫出垂直線段 PD 和 PE，那麼這兩條垂直線段的長度必定相等，即 PD = PE。
• 反向定理：反之，如果有一個點 P 在角的內部，且 P 點到角兩邊的垂直距離相等，那麼點 P 必定在該角的角平分線上。

這個特性在處理涉及距離和對稱的幾何證明題時尤其有用。

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如何用尺規作圖畫出角平分線？

在 DSE 數學的考試中，尺規作圖 (Compass-and-straightedge construction) 是考核基本幾何技能的一種方式。畫出一個角的角平分線是其中最基本的操作之一。

工具：一把無刻度的直尺、一個圓規。

作圖步驟： 假設我們要畫出 ∠AOB 的角平分線。

1. 第一步：以角的頂點 O 為圓心，以任意長度為半徑畫弧，該弧線分別與 OA 和 OB 相交於 X 和 Y 兩點。
2. 第二步：分別以 X 和 Y 為圓心，以 大於 XY 長度一半 的相同長度為半徑畫弧，兩弧在 ∠AOB 的內部相交於 P 點。
3. 第三步：使用直尺，畫出一條穿過頂點 O 和交點 P 的射線 OP。

這條射線 OP 就是 ∠AOB 的角平分線。

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DSE 數學必殺技：角平分線定理 (Angle Bisector Theorem)

角平分線定理是處理三角形邊長比例問題的強大工具，是 DSE 數學幾何部分的常考內容。

定理內容

在三角形中，一個內角的角平分線會將其對邊分成兩段，這兩段的長度比例，等於夾著該角的兩條邊的長度比例。

• 定理詳解：在 △ABC 中，如果 AD 是 ∠BAC 的角平分線，且交對邊 BC 於 D 點，那麼： AB / AC = BD / CD

這個定理簡潔地將角的關係轉化為了邊長的比例關係，是解決許多三角形計算題的捷徑。

定理應用實例

題目： 在 △ABC 中，AB = 8 cm，AC = 6 cm，BC = 7 cm。AD 是 ∠BAC 的角平分線，求 BD 的長度。

解題步驟：

1. 設未知數：設 BD = x cm，則 CD = (7 – x) cm。
2. 應用角平分線定理： 根據角平分線定理，我們知道 AB / AC = BD / CD。
3. 代入數值： 8 / 6 = x / (7 – x)
4. 交叉相乘並解方程： 8 * (7 – x) = 6 * x 56 – 8x = 6x 56 = 14x x = 4
5. 得出答案： 因此，BD 的長度為 4 cm。

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角平分線與三角形的內心 (Incenter)

當我們將三角形的三條內角平分線都畫出來時，會發現一個奇妙的現象：它們會交於同一點。這個交點被稱為三角形的內心 (Incenter)。

• 內心的特性：內心是三角形內切圓 (Inscribed Circle) 的圓心。
• 內心與邊的關係：由於內心在每一條角平分線上，根據角平分線的特性，它到三角形三條邊的垂直距離都相等。這個相等的距離，正是內切圓的半徑。

概念	定義	特性
角平分線	將角平分為二的射線	線上任一點到角兩邊的垂直距離相等
內心 (Incenter)	三角形三條內角平分線的交點	到三邊垂直距離相等，是內切圓的圓心

總結：溫故知新，迎戰 DSE

「角平分線」是貫穿整個中學幾何課程的核心概念。從最基礎的定義和畫法，到其核心特性，再到進階的角平分線定理和與內心的關聯，每一個知識點都環環相扣，並且在 DSE 數學考試中擁有極高的出題頻率。

我們希望透過這篇文章，能幫助你建立一個清晰而完整的知識框架。請務必牢記角平分線的兩大核心功能：

1. 製造相等的距離 (點到邊的垂直距離)
2. 製造邊長的比例 (角平分線定理)

徹底理解並靈活運用這些概念，是你在 DSE 數學卷中取得理想成績的關鍵。

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