外心Circumcentre完全攻略 | DSE坐標幾何必考 | 超研

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什麼是外心 (Circumcentre)？

在幾何學中，一個三角形的外心 (Circumcentre)，是指其三條邊的垂直平分線 (Perpendicular Bisector) 的交點。

這個點最重要的一個特性是：它是該三角形外接圓 (Circumcircle) 的圓心。外接圓是唯一一個能夠穿過三角形全部三個頂點 (Vertices) 的圓形。

核心定義拆解：

• 實體 (Entity): 外心 (Circumcentre)
• 屬性 (Attributes):
  • 由三條垂直平分線相交而成。
  • 是外接圓的圓心。

(註：此處應有示意圖，展示垂直平分線如何交於一點，並形成外接圓的圓心)

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外心的三大核心性質 (Properties of Circumcentre)

要精通外心的題目，必須熟記以下三個關鍵性質，它們是解題的鑰匙：

1. 等距性質： 外心到三角形三個頂點的距離相等。這個距離，正正就是其外接圓的半徑 (Radius)。
   • 若 O 是 △ABC 的外心，則 OA = OB = OC = 外接圓半徑 (r)。
   • 這個性質在坐標幾何中極為常用，可以利用距離公式 (Distance Formula) 建立方程。
2. 位置特性： 外心的位置會因應三角形的類型而改變，這一點是DSE常見的考點。

三角形類型	外心位置	特性解釋
銳角三角形 (Acute Triangle)	三角形內部	所有角都小於90度，外心位於三角形內。
直角三角形 (Right-angled Triangle)	斜邊的中點 (Mid-point of Hypotenuse)	這是最重要的特性之一，能極大簡化計算。
鈍角三角形 (Obtuse Triangle)	三角形外部	當有一個角大於90度時，外心會落在三角形之外。

3. 角度關係： 外心與頂點連線所形成的角度，和三角形的頂角有特定關係。例如，在銳角三角形ABC中，外心為O，則 ∠BOC = 2∠A。

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如何找出外心的坐標？DSE數學實戰技法

在DSE坐標幾何的題目中，找出外心坐標是核心任務。主要有兩種方法：

方法一：垂直平分線聯立方程法 (System of Equations of Perpendicular Bisectors)

這是最通用、最基本的方法，適用於任何三角形。

解題步驟：

1. 找出兩條邊的中點 (Mid-point)： 利用中點公式 M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )，計算出任意兩條邊（如 AB 和 BC）的中點坐標。
2. 計算兩條邊的斜率 (Slope)： 利用斜率公式 m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) 計算出該兩條邊的斜率。
3. 求出垂直平分線的斜率： 垂直線的斜率關係為 m₁ × m₂ = -1。因此，垂直平分線的斜率是該邊斜率的負倒數 (Negative Reciprocal)。
4. 建立兩條垂直平分線的方程： 利用點斜式 (Point-slope form) y – y₁ = m(x – x₁)，將中點坐標和垂直斜率代入，建立兩條線性方程。
5. 解聯立方程 (Solve Simultaneous Equations)： 將兩條垂直平分線的方程聯立求解，得出的交點 (x, y) 就是外心的坐標。

【DSE實戰範例】 假設三角形頂點為 A(2, 8), B(0, 4), C(6, 2)，求其外心 O 的坐標。

• Step 1 & 2: 處理邊 AB
  • AB 中點 = ( (2+0)/2 , (8+4)/2 ) = (1, 6)
  • AB 斜率 = (8-4)/(2-0) = 2
• Step 3 & 4: 建立 AB 的垂直平分線方程
  • 垂直斜率 = -1/2
  • 方程： y – 6 = -1/2 (x – 1) => 2y – 12 = -x + 1 => x + 2y – 13 = 0 — (1)
• Step 1 & 2: 處理邊 BC
  • BC 中點 = ( (0+6)/2 , (4+2)/2 ) = (3, 3)
  • BC 斜率 = (4-2)/(0-6) = 2/-6 = -1/3
• Step 3 & 4: 建立 BC 的垂直平分線方程
  • 垂直斜率 = 3
  • 方程： y – 3 = 3(x – 3) => y – 3 = 3x – 9 => 3x – y – 6 = 0 — (2)
• Step 5: 解聯立方程
  • 由 (2) 得 y = 3x – 6
  • 代入 (1): x + 2(3x – 6) – 13 = 0
  • x + 6x – 12 – 13 = 0
  • 7x = 25 => x = 25/7
  • y = 3(25/7) – 6 = 75/7 – 42/7 = 33/7
• 答案： 外心坐標為 (25/7, 33/7)。

方法二：距離公式法 (Distance Formula Method)

此方法利用「外心到三頂點等距」的性質 (OA = OB = OC)。

解題步驟：

1. 設立外心坐標： 設外心 O 的坐標為 (x, y)。
2. 建立等距方程： 利用距離公式 √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]，建立兩組等式，如 OA² = OB² 和 OB² = OC²。（使用平方是為了消除開方根，簡化計算）
3. 展開並簡化方程： 將方程展開，x² 和 y² 項會被消去，得到兩條線性方程。
4. 解聯立方程： 解這兩條線性方程，即可得到外心坐標 (x, y)。

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資訊增益：外心與其他「心」的區別

在DSE課程中，除了外心，還有形心 (Centroid)、內心 (Incentre) 和垂心 (Orthocentre)。清晰分辨它們是取得高分的關鍵。

• 外心 (Circumcentre): 邊的垂直平分線交點，與外接圓相關。
• 形心 (Centroid): 中線 (Median) 的交點，是三角形的物理重心。
• 內心 (Incentre): 角平分線 (Angle Bisector) 的交點，與內切圓相關。
• 垂心 (Orthocentre): 高線 (Altitude) 的交點。

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結論：掌握外心，穩奪DSE幾何分數

外心 (Circumcentre) 的概念貫穿了直線方程、圓形方程及三角形的基本性質，是DSE數學中一個極具代表性的綜合性課題。要徹底掌握它，同學必須：

• 理解定義： 牢記外心是「垂直平分線的交點」和「外接圓的圓心」。
• 熟記性質： 特別是「等距性質」和「位置特性」。
• 精通計算： 必須熟練運用「中點公式」、「斜率公式」及「聯立方程」來準確找出坐標。

單靠閱讀筆記並不足夠，實踐才是王道。立即動手多做相關的DSE Past Paper和模擬試題，將以上知識應用出來。

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